Propriedades dos Determinantes

As propriedades dos determinantes, que discutiremos a seguir são válidas quaisquer que seja a ordem dos determinantes. No entanto, utilizaremos determinantes de ordem 2 e 3, para facilitar a compreensão.
1ª O determinante de uma matriz quadrada coincide com o determinante de sua transposta, ou seja,
Det (A) = Det (At)

2ª Se trocarmos duas linhas ou duas colunas de uma matriz quadrada, seu determinante troca somente de sinal.


3ª Se multiplicarmos todos os elementos de uma linha ou coluna de uma matriz quadrada por um número k, seu determinante será multiplicado por este número k.


Em geral, se multiplicamos todos os elementos de uma matriz quadrada de ordem n por um número k, seu determinante será multiplicado por kn, ou seja:
Det (k . A) = kn . Det (A).

4ª O determinante do produto de duas matrizes quadradas de mesma ordem é igual ao produto dos determinantes destas matrizes:
Det (A . B) = Det (A) . Det (B).


5ª Se uma matriz quadrada tem todos os elementos de uma linha ou coluna nulos, seu determinante é zero.

6ª Se uma matriz quadrada tem duas linhas ou duas colunas iguais seu determinante é zero.

7ª Se uma matriz quadrada tem duas linhas ou duas colunas proporcionais seu determinante é zero.

8ª Se todos os elementos de uma linha ou coluna de uma matriz quadrada se descompõem em duas somas, então seu determinante é igual a soma dos determinantes que têm nessa linha ou coluna o primeiro e a segunda soma respectivamente, sendo os elementos restantes iguais aos determinantes iniciais.

9ª Se uma linha ou coluna de uma matriz quadrada é combinação linear de duas ou mais das linhas ou colunas restantes, seu determinante é zero.

10ª Se a uma linha ou coluna de uma matriz quadrada somamos outra paralela a ela, seu determinante não altera.

11ª Se a uma linha ou coluna de uma matriz quadrada somamos outra paralela a ela multiplicada por um número, seu determinante não altera.



Fonte: http://www.igm.mat.br/cursos/a_linear/matrizes/prop_determinantes.htm